7) Les suites divergentes en l'infini

Lien pour comprendre les termes convergent et divergent pour les suites

Définition d’une suite divergente en +l’infini

Une suite tend vers $+\infty$ lorsque tout intervalle de la forme $[A;+\infty [$ (avec A > 0) contient tous les termes $u_n$ à partir d’un certain rang.

Autrement dit pour tout $A>0$ il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n\ge n_0,u_n\ge A$

On note : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$

Démontrer que la limite de Un = +l’infini

Soit $n\in \mathbb{N}etA>0$ on pose $u_n=4n^2$

On cherche à démontrer qu’il existe un rang $n_0$ à partir duquel $u_n\ge A$

$u_n\ge A<=>4n^2\ge A<=>n^2\ge \frac{A}{4}<=>n\ge \frac{\sqrt{A}}{2}$

Cependant $\frac{\sqrt{A}}{2}$n’est généralement pas un entier naturel, on ne peut donc pas dire que $n_0=\frac{\sqrt{A}}{2}$

On note alors $n_0=\lfloor \frac{\sqrt{A}}{2}\rfloor +1$

Info

$\lfloor \frac{\sqrt{A}}{2}\rfloor$ est la partie entière de $\frac{\sqrt{A}}{2}$. On rajoute + 1 car si $\frac{\sqrt{A}}{2}$ vallait par exemple 3,8, et bien sa partie entière serait 3, il manquerait donc 0,8

Dans ce cas, si $n\ge n_0$ on a $u_n\ge A$

Ainsi $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$

Définition d’une suite divergente en -l’infini

Une suite tend vers $-\infty$ lorsque tout intervalle de la forme $]-\infty ;B[$ (avec B < 0) contient tous les termes $u_n$ à partir d’un certain rang.

Autrement dit pour tout $B<0$ il existe un rang $n_0$ tel que pour tout $n\ge n_0,u_n\le B$

On note : $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$

Remarque

$u_n$ tend vers $-\infty$ si et seulement si $(-u_n)$ tend vers $+\infty$.

Démontrer que la limite de Un = -l’infini

Soit $n\in \mathbb{N}etB<0$ on pose $u_n=-n^2$

On cherche à démontrer qu’il existe un rang $n_0$ à partir duquel $u_n\le B$

$u_n\le B<=>-n^2\le B<=>n^2\ge -B<=>n\ge \sqrt{-B}$

Cependant $\sqrt{-B}$ n’est généralement pas un entier naturel, on ne peut donc pas dire que $n_0=\sqrt{-B}$ On note alors $n_0=\lfloor \sqrt{-B}\rfloor$

Dans ce cas, si $n\ge n_0$ on a $u_n\le B$

Ainsi $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$