5) Inégalité de Bernoulli

Pour tout réel a > 0, pour tout entier naturel n

On a : $(1+\mathbf{a}{)}^{\mathbf{n}}\ge 1+\mathbf{na}$

Démonstration

Lien pour comprendre comment fonctionne un raisonnement par récurrence

Initialisation

On vérifie si la propriété est vraie au premier rang, ici pour n = 0

$(1+a{)}^0=1et1+0\times a=1$

$Or1\ge 1donc(1+a{)}^0\ge 1+0\times a$

La propriété est donc initialisée.

Hérédité

Hypothèse de récurrence :
On suppose que la propriété est vraie au rang n.

Cela signifie donc que

$(1+a{)}^n\ge 1+na$

On veut démontrer que la propriété est vraie au rang n+1

$(1+a{)}^{n+1}\ge 1+(n+1)a$

On descend d’un rang pour pouvoir utiliser l’hypothèse de récurrence

$(1+a{)}^{n+1}=(1+a{)}^n(1+a{)}^1$

On ajoute (1 + a) à l’hypothèse de récurrence pour retrouver la propriété au rang n+1

$(1+a{)}^n(1+a)\ge (1+na)(1+a)$

On développe

$(1+a{)}^{n+1}\ge 1+a+na+n{a}^2$

On factorise

$(1+a{)}^{n+1}\ge 1+(n+1)a+n{a}^2$

Comme $n{a}^2$ est un nombre positif (n est un entier naturel donc positif & a² positif), on peux le faire disparaître de l’inégalité. On a donc retrouvé la propriété au rang n+1

$(1+a{)}^{n+1}\ge 1+(n+1)a$

Conclusion

La propriété est vraie pour n = 0 et elle est héréditaire à partir de ce rang, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.