6) Les suites convergentes

Définition

On dit que la suite $u_{n}$ admet pour limite L si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang

on note $n \to + \infty lim u_{n} = L$

Une telle suite est dite convergente : elle admet une limite finie.

Remarque

Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente (suite qui n’admet pas de limite finie)

Ex: Les suites divergentes en l’infini

Théorème de la limite monotone

Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente.
Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente.

Exemple : démontrer qu’une suite est convergente

Soit $u_{0} = 0$ et $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 4$

1) Démontrer que $u_{n}$ est majorée par 4.

Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que $u_{n}$ est majorée par 4.

Étape 1 : Initialisation.

On vérifie que la propriété est vraie au premier rang, ici $u_{0}$ .

$u_{0} \leq 4$

La propriété est donc initialisée.

Étape 2 : Hérédité.

On pose l’hypothèse que $u_{n} \leq 4$

On part de cette inégalité pour retrouver $u_{n + 1}$

$\leftrightarrow 3 u_{n} \leq 12$

$\leftrightarrow 3 u_{n} + 4 \leq 16$

$\leftrightarrow 3 u_{n} + 4 \leq 4$

$\leftrightarrow u_{n + 1} \leq 4$

Par récurrence nous venons donc de démontrer que la suite est majorée par 4.

2) Démontrer que $u_{n}$ est croissante.

Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que $u_{n}$ est croissante.

Étape 1 : Initialisation.

On calcule $u_{0} e t u_{1}$ pour vérifier que la suite est croissante aux premiers rangs.

$u_{0} = 0$

$u_{1} = 2$

$u_{0} \leq u_{1}$

La propriété est donc initialisée.

Étape 2 : Hérédité.

On pose l’hypothèse qu’à un rang $n$ la suite est croissante

$u_{n} \leq u_{n + 1}$

On part de cette inégalité pour retrouver $u_{n + 1} \leq u_{n + 2}$

$\leftrightarrow 3 u_{n} \leq 3 u_{n + 1}$

$\leftrightarrow 3 u_{n} + 4 \leq 3 u_{n + 1} + 4$

$\leftrightarrow u_{n + 1} \leq u_{n + 2}$

Nous avons donc démontré par récurrence que la suite $u_{n}$ est croissante

3) Conclusion

La suite $u_{n}$ converge donc car elle est croissante et majorée

(Maths) Terminale

6) Les suites convergentes

Définition

Théorème de la limite monotone

Exemple : démontrer qu’une suite est convergente

1) Démontrer que $u_{n}$ est majorée par 4.

2) Démontrer que $u_{n}$ est croissante.

3) Conclusion

Explorateur

(Maths) Terminale

6) Les suites convergentes

Définition

Théorème de la limite monotone

Exemple : démontrer qu’une suite est convergente

1) Démontrer que un​est majorée par 4.

2) Démontrer que un​ est croissante.

3) Conclusion

Explorateur

1) Démontrer que $u_{n}$ est majorée par 4.

2) Démontrer que $u_{n}$ est croissante.