Définition
On dit que la suite admet pour limite L si tout intervalle ouvert contenant L contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang
on note
Une telle suite est dite convergente : elle admet une limite finie.
Remarque
Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente (suite qui n’admet pas de limite finie)
Théorème de la limite monotone
- Si une suite croissante est majorée alors elle est convergente.
- Si une suite décroissante est minorée alors elle est convergente.
Exemple : démontrer qu’une suite est convergente
Soit et
1) Démontrer que est majorée par 4.
Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que est majorée par 4.
Étape 1 : Initialisation.
On vérifie que la propriété est vraie au premier rang, ici .
La propriété est donc initialisée.
Étape 2 : Hérédité.
On pose l’hypothèse que
On part de cette inégalité pour retrouver
Par récurrence nous venons donc de démontrer que la suite est majorée par 4.
2) Démontrer que est croissante.
Nous allons démontrer par un raisonnement par récurrence que est croissante.
Étape 1 : Initialisation.
On calcule pour vérifier que la suite est croissante aux premiers rangs.
La propriété est donc initialisée.
Étape 2 : Hérédité.
On pose l’hypothèse qu’à un rang la suite est croissante
On part de cette inégalité pour retrouver
Nous avons donc démontré par récurrence que la suite est croissante
3) Conclusion
La suite converge donc car elle est croissante et majorée